xe^x的積分包括不定積分和定積分。不定積分求的是函數f(x)=xe^x的原函數，可以記為F(x)+C，它是一個(gè)函數系統。而定積分求的是曲線(xiàn)f(x)=xe^x與x軸在區間[a,b]上，與x=a,和x=b圍成的圖形面積。
求定積分一般是建立在不定積分的基礎上的，根據牛頓萊布尼茲公式，f(x)在區間[a,b]上的定積分等于F(b)-F(a). 因此我們先來(lái)探究如何求xe^x的不定積分，即求∫xe^xdx.
求不定積分一般基于常用的的積分公式，觀(guān)察積分∫xe^xdx，可以找到近似的積分公式∫e^xdx=e^x+C. 因為第一件事情，就是要把∫xe^xdx轉化為含有∫e^xdx的式子。為了達到這個(gè)目的，需要進(jìn)行如下兩步變形：
1、湊微分，就是把e^xdx轉化成de^x。即∫xe^xdx=∫xde^x。湊微分是最常用的積分方法，一定要掌握好。它的原理是微分的逆過(guò)程，即根據de^x=e^xdx，就有e^xdx=de^x. 不僅要掌握，而且要熟練常用的湊微分公式。比如cosxdx=dsinx, (secx)^2dx=dtanx, dx/x=dlnx等。
2、分部積分法，就是積分等于被積函數與微分變量的積減去被積函數和微分變量交換位置后的積分，即∫xde^x=xe^x-∫e^xdx. 雖然分部積分法有公式，不過(guò)如果能夠用自己的語(yǔ)言把公式描述出來(lái)，運用上自然就不會(huì )有什么障礙了。因此老黃經(jīng)常鼓勵學(xué)生，要學(xué)會(huì )用自己的語(yǔ)言去描述定義、定理、法則和公式等。
現在就達到“把∫xe^xdx轉化為含有∫e^xdx的式子”的目的了，并且可以利用基本積分公式，得到原函數的不定積分，其過(guò)程歸納如下：
∫xe^xdx=∫xde^x=xe^x-∫e^xdx=xe^x-e^x+C=(x-1)e^x+C=F(x)+C.(最后的表示法是為了后面描述的方便)
在沒(méi)有指定具體區間的情況下，我們取區間[a,b]上的定積分∫(a->b)xe^xdx=F(b)-F(a)=(b-1)e^b-(a-1)e^a.
如果加強理解，舉一個(gè)具體的例子。假如求[0,1]上的定積分，則∫(0->1)xe^xdx=F(1)-F(0)=1. 即函數f(x)=xe^x，與x=1，以及兩條坐標軸圍成的圖形面積為1.
現在你會(huì )求xe^x的積分了嗎？
